1. 有一栋100层高的大楼，给你两个完全相同的玻璃球。假设从某一层开始，丢下玻璃球会摔碎。那么怎么利用手中的两个球，用什么最优策略知道这个临界的层是第几层？

核心思路：等差递减间隔法

假设最坏情况下最多需要 ( n ) 次尝试，则第一次从第 ( n ) 层丢球：

若碎了：用第二个球从第1层到第 ( n-1 ) 层依次试，最多试 ( n-1 ) 次，总次数 ( n ) 次（含第一次）。
若没碎：第二次从第 ( n + (n-1) ) 层丢球（间隔递减1，确保剩余次数覆盖后续楼层）。
以此类推，每次间隔递减1，直到覆盖100层。

数学推导：确定初始间隔 ( n )

设首次尝试楼层为 ( n )，后续每次间隔递减1，总覆盖楼层需满足：
[
n + (n-1) + (n-2) + \dots + 1 \geq 100
]
左边是等差数列求和，公式为 ( \frac{n(n+1)}{2} \geq 100 )。
解得 ( n \approx 13.65 )，向上取整得 ( n = 14 )。

具体策略步骤

第一次从14层丢球：
- 碎了：用第二个球从1层到13层依次试，最多试13次，总次数 ( 1+13=14 ) 次。
- 没碎：第二次从 ( 14+13=27 ) 层丢球。
第二次从27层丢球：
- 碎了：用第二个球从15层到26层依次试，最多试12次，总次数 ( 2+12=14 ) 次。
- 没碎：第三次从 ( 27+12=39 ) 层丢球。
第三次从39层丢球：
- 碎了：试28-38层，最多11次，总次数 ( 3+11=14 ) 次。
- 没碎：第四次从 ( 39+11=50 ) 层丢球。
依此类推，后续楼层依次为：
( 50+10=60 )、( 60+9=69 )、( 69+8=77 )、( 77+7=84 )、( 84+6=90 )、( 90+5=95 )、( 95+4=99 )、( 99+3=102 )（超过100，最后一次直接试100层）。

最坏情况验证

若临界层在14层：试14层（碎）→1-13层（13次），共14次。
若临界层在27层：试14层（没碎）→27层（碎）→15-26层（12次），共14次。
若临界层在100层：需依次试14、27、39、50、60、69、77、84、90、95、99层（11次没碎），最后试100层（第12次），但实际按间隔规律，最后一次应覆盖到100层，计算时已确保总次数不超过14次。

结论

最优策略是首次从14层开始，之后每次在上一次基础上递增 ( n-1, n-2, \dots ) 层（( n ) 为剩余可尝试次数），最坏情况下最多需要14次尝试。
这种方法通过数学优化，使每次失败后剩余的尝试次数恰好覆盖剩余楼层，确保了最小化最坏情况下的尝试次数。

2.有20瓶药丸，其中19瓶装有1克/粒的药丸，余下一瓶装有1.1克/粒的药丸。给你一台称重精准的天平，怎么找出比较重的那瓶药丸？天平只能用一次。

从每瓶药丸中取出与其瓶子编号相等的药丸数量。例如，从第1瓶药丸中取出1粒，从第2瓶药丸中取出2粒，以此类推，从第20瓶药丸中取出20粒。

将所有取出的药丸放在天平上进行一次称重。如果所有的药丸都是1克/粒，那么总重量应该是1+2+3+…+20=210克。但由于有一瓶药丸是1.1克/粒，总重量会比210克重一些。

计算天平上药丸总重量与210克之间的差值。这个差值将是一个整数倍的0.1克，这个整数就是装有1.1克/粒药丸的瓶子的编号。

例如，如果称重结果是210.3克，那么差值为0.3克，这意味着第3瓶药丸中的药丸重1.1克/粒。

3. 有个岛上住着一群人，有一天来了个游客，定了一条奇怪的规矩：所有蓝眼睛的人都必须尽快离开这个岛。每晚8点会有一个航班离岛。每个人都看得见别人眼睛的颜色，但不知道自己的（别人也不可以告知）。此外，他们不知道岛上到底有多少人是蓝眼睛的，只知道至少有一个人的眼睛是蓝色的。所有蓝眼睛的人要花几天才能离开这个岛？

关键信息：岛民们将通过观察其他人的行为，逐渐揭示这个谜题的答案。

假设岛上有n个蓝眼睛的人，我们来分析每种情况下蓝眼睛的人需要多少天才能离开岛：

当n=1时，岛上只有一个蓝眼睛的人。他看不到其他人的蓝眼睛，但知道至少有一个人是蓝眼睛的，所以他意识到自己就是那个蓝眼睛的人。所以，当天晚上8点，他就会离开岛。
当n=2时，岛上有两个蓝眼睛的人，两个蓝眼睛的人看到对方，并不确定n是1还是2，但是由上一种情况他们知道，如果n = 1，那个蓝眼睛的人第一晚就会离岛。第二天，他们发现另一个蓝眼睛的人没有离开，这意味着至少有两个蓝眼睛的人，所以他们能确定自己也是蓝眼睛的。于是，第二天晚上8点，两个蓝眼睛的人都会离开岛。
当n=3时，假设岛上有三个蓝眼睛的人。前两天晚上，他们都没有离开。到第三天，他们都看到其他两个蓝眼睛的人没有离开，这意味着岛上至少有三个蓝眼睛的人。由于他们看到了其他两个蓝眼睛的人，他们能确定自己也是蓝眼睛的。因此，第三天晚上8点，三个蓝眼睛的人都会离开岛。
以此类推，如果岛上有n个蓝眼睛的人，他们需要n天才能全部离开岛。因为每个人都在观察其他人的行为，当他们发现其他蓝眼睛的人都没有离开时，他们就能推断出岛上蓝眼睛的人数，并据此确定自己的眼睛颜色。

4.利用不均匀硬币产生等概率？

连续抛两次硬币，正反面的出现有四种情况，概率依次为：

两次均为正面：p * p
第一次正面，第二次反面：p * (1 - p)
第一次反面，第二次正面：(1 - p) * p
两次均为反面：(1 - p) * (1 - p)
问题的解法就是连续抛两次硬币，如果两次得到的相同则重新抛两次；否则根据第一次（或第二次）的正面反面情况，就可以得到两个概率相等的事件。

5. 5只猫5分钟捉5只老鼠，请问100分钟捉100只老鼠需要多少只猫？

5只，分析：1只猫5分钟捉1只老鼠，1只猫100分钟捉20只老鼠，5只猫100分钟捉100只老鼠。

6. 3升的杯子一个，5升的杯子一个，杯子不规则形状，问怎么得到4升的水？

5升杯子装满，全部倒给空的3升杯子，此时5升杯子有2升，3升杯子要3升
倒掉3升杯子的全部水，再把5升杯子的2升水倒给3升杯子，此时5升杯子有0升，3升杯子有2升
5升杯子装满水，向3升辈子倒水，倒满，此时此时5升杯子有4升，3升杯子有3升

通用步骤模板：

装满大杯（A）；
将大杯倒入小杯（B）至满，大杯剩 A−B
倒空小杯（B），将大杯剩余倒入小杯；
重复步骤 1-3，直至小杯剩余可通过大杯补满后得到目标量。
本质：利用两容器容量的 “模运算” 特性，通过循环操作使大杯剩余量逼近目标。

7. 用5L和6L的桶，没有刻度，怎么量出3L的水？

6L桶装满水，向空的5升桶倒水至水满为止，此时6L桶有1升水，5L桶有5升水；
倒掉5L桶的全部水，再把6L桶的1升水倒给5L桶，此时6L桶有0升水，5L桶有1升水；
6L桶装满水，向5升桶倒水至水满为止，此时6L桶有2升水，5L桶有5升水；
倒掉5L桶的全部水，再把6L桶的2升水倒给5L桶，此时6L桶有0升水，5L桶有2升水；
6L桶装满水，向5升桶倒水至水满为止，此时6L桶有3升水，5L桶有5升水。

8. 晚上有四个人过桥，一次只能过两个人，但是只有一只手电筒，四个人过桥时间分别是1，2，5，8，求最短过桥时间？

假设这四人依次是甲乙丙丁：首先甲和乙过桥，甲带手电筒回来；然后丙和丁过桥，由乙带手电筒回来；最后甲再和乙一起过桥，所以最少用时间是2+1+8+2+2=15（分钟）

9. 有十张扑克牌，每次可以只出一张，也可以只出两张，要出完有多少种出法？

等价于有几个台阶，每次可以跳一步或两步，共有多少种跳法。
F(1)=1，F(2)=2，F(3)=F(1)+F(2)；依次推出：F(10)=F(9)+F(8)=89

10. 两根香，一根烧完1小时，如何测量15分钟？

开始时一根香两头点着，一根香只点一头；
两头点着的香烧完说明过去了半小时，这时将只点了一头的香另一头也点着，从这时开始到烧完就是15分钟。

概率题

甲有 n+1 枚硬币,乙有 n 枚硬币,求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率？那如果甲有n+2枚呢?

甲和乙各抛 n 次，甲掷出的正面数等于乙抛出正面数。要想甲比乙多，甲必须再抛出一个正面，甲抛出正面概率P=0.5，所以，甲比乙多的概率0.5。当甲有n+2次，那么最后2次，至少1次正面即可，所以概率为1-0.5^2 = 0.75。

先手必胜问题

100本书，两个人轮流拿，每次拿1~5本，你先拿，有没有策略可以保证你可以拿到最后一本？

最后只要剩下6本，这样无论他怎么拿，我都能拿到最后一本。

核心策略是控制每轮两人拿书的总数为6本。首先计算100除以6的余数，(100 \div 6 = 16) 余4，因此你第一步先拿走4本，使剩余书数为96本（96是6的整数倍）。此后，无论对手每轮拿取 (x) 本（(1 \leq x \leq 5)），你均拿取 (6-x) 本，确保每轮两人共拿走6本书。随着轮次推进，剩余书数会依次递减为90、84、78……直至最后剩下6本书。此时对手无论拿1~5本，你都能拿走剩余全部书籍，从而拿到最后一本。